En una primera aproximación intuitiva, decimos que dos enunciados son equivalentes lógicamente cuando "dicen lo mismo". Esto quiere decir que estos dos enunciados serán verdaderos o falsos en las mismas circunstancias.
En consecuencia, si dos enunciados son lógicamente equivalentes no puede haber una sola circunstancia en la que un enunciado sea verdadero, y el otro falso, o, en otras palabras, sus respectivos valores de verdad coinciden para cualquier interpretación.
Por lo tanto, si para cada interpretación dos enunciados moleculares reciben el mismo valor de verdad, ambos son lógicamente equivalentes.
Hablando en términos de tablas de verdad, dos enunciados son equivalentes lógicamente cuando los valores de verdad de sus respectivas conectivas dominantes son iguales.
Ya hemos conocido algunas equivalencias lógicas:
- Doble negación: p ≡ ¬(¬p)
- Propiedad conmutativa de la conjunción: p∧q ≡ q∧p
- Propiedad conmutativa de la disyunción: p∨q ≡ q∨p
- Ley asociativa de la conjunción: p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r
- Ley asociativa de la disyunción: p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción
A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de la conjunción, la fórmula p∧(q∧r) es lógicamente equivalente a (p∧q)∧r.
Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.
| p | q | r | q∧r | p∧(q∧r) | p∧q | (p∧q)∧r |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | F | V | F |
| V | F | V | F | F | F | F |
| V | F | F | F | F | F | F |
| F | V | V | V | F | F | F |
| F | V | F | F | F | F | F |
| F | F | V | F | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F |
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción
Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con "Vs" y "Fs" donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p∨(q∨r) es equivalente a (p∨q)∨r.