El concepto de tautología
En esta sección sobre tablas de verdad, nos hemos topado con el concepto de equivalencia lógica, y dijimos que dos fórmulas son lógicamente equivalentes cuando todas sus posibles interpretaciones son iguales por tomar los mismos valores de verdad.
En este apartado hablaremos de un tipo peculiar de fórmulas (enunciados moleculares). llamadas tautologías, que tienen la peculiaridad de que todas sus posibles interpretaciones son siempre verdaderas.
¿Qué significa que todas las interpretaciones de un enunciado molecular sean todas verdaderas? Pues que dichas fórmulas, que de aquí en adelante llamaremos tautologías, son verdaderas independientemente de si los enunciados atómicos que las constituyan sean verdaderos o falsos. Una consecuencia profunda de las tautologías es que son verdaderas independientemente de cómo sea el mundo. No son verdaderas en virtud de cómo es el mundo, sino por su forma lógica (por la forma en que se relacionan las particulas conectivas que la constituyen).
Tautologías y tablas de verdad
Hay varios métodos para averiguar si un enunciado molecular es tautológico. Nosotros veremos dos: el método ya conocido de la tabla de verdad, y la reducción al absurdo (que conoceremos en el próximo apartado).
Como acabamos de decir, para averiguar si un enunciado molecular es tautológico, podemos elaborar su tabla de verdad. Estamos ante una tautología si en la columna de su conectiva principal nos encontramos con que todos los valores de verdad de todas las interpretaciones posibles son verdaderas.
Ejemplos de fórmulas tautológicas
Para ilustrar el modo de averiguar si una fórmula es tautológica mediante el método de las tablas de verdad, comprobaremos si lo es la fórmula p∨¬p.
| p | ¬p | p∨¬p |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
Como nos encontramos que en la columna p∨¬p todos los valores son V, estamos ante una tautología. Es decir, sea p un enunciado verdadero o falso, p∨¬p es siempre verdadero.
Es importante recordar...
Es importante recordar que la utilidad práctica de las tautologías para nuestra vida cotidiana radica en que ilustran esquemas de razonamiento válidos; son modelos de inferencias lógicamente válidas. Esto es muy fácil de apreciar de forma intuitiva en fórmulas sencillas como p∨¬p, pero es igualmente aplicable (aunque sea más difícil de apreciar intuitivamente) a otras fórmulas más complejas, como la que veremos en el siguiente ejemplo.
Veamos un segundo ejemplo con el siguiente enunciado: (p∧q)∨(¬p∨¬q)
| p | q | p∧q | ¬p | ¬q | ¬p∨¬q | (p∧q)∨(¬p∨¬q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | V |
| V | F | F | F | V | V | V |
| F | V | F | V | F | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
También aquí nos encontramos con que el enunciado (p∧q)∨(¬p∨¬q) es una tautología.
En el siguiente apartado aprenderemos a averiguar si una fórmula es tautológica o no lo es mediante el método de reducción al absurdo.