En la sección anterior ya nos hemos familiarizado con los enunciados tautológicos, que son verdaderos bajo cualquier posible interpretación. Vimos que son verdaderos no en virtud de la forma que adopta el mundo, sino por las relaciones que se establecen entre sus conectivas, es decir, por su estructura formal.
En este apartado atenderemos a otro tipo de enunciados, llamados contradicciones, que son falsos bajo cualquier posible interpretación. En este caso también ocurre que estos enunciados son falsos no porque el mundo sea de una determinada manera, sino porque las relaciones que se establecen entre sus conectivas impiden que tengan alguna interpretación verdadera. Las contradicciones, en consecuencia, son falsas independientemente de los valores de verdad que adopten las atómicas que las constituyen.
Analicemos, para empezar, el enunciado p∧¬p. En un primer análisis podemos comprobar la estructura contradictoria de este enunciado: se afirma un enunciado conjuntamente con su negación. Demos el contenido que le demos al enunciado p, nos encontraremos con un sinsentido.
Por ejemplo, si p: "Lueve", p∧¬p significaría "llueve y no llueve", lo que en rigor es contradictorio. Aunque en nuestra experiencia cotidiana podamos encontrarnos situaciones en las que no sepamos a ciencia cierta si llueve o no, es lógicamente imposible (en una lógica bivalente, como la que estamos estudiando) que llueva y no llueva simultáneamente.
El enunciado p∧¬p refleja de forma cristalina otra forma de definir una contradicción: una contradicción consiste en afirmar un enunciado conjuntamente con su negación.
Contradicciones y tablas de verdad
La forma más sencilla para averiguar si un enunciado es contradictorio consiste en elaborar su tabla de verdad. Si en la columna de la conectiva principal nos encontramos con que todas sus posibles interpretaciones son falsas, entonces estamos ante una contradicción.
Ejemplo primero
Comprobemos mediante el método de las tablas de verdad que el enunciado p∧(¬p) es una contradicción:
| p | ¬p | p∧¬p |
|---|---|---|
| V | F | F |
| F | V | F |
Ejemplo segundo
En este caso es fácil llegar a la conclusión de que el enunciado p∧¬p es contradictorio simplemente mediante una primera inspección de las relaciones entre sus conectivas (no puede ser verdadero simultáneamente un enunciado y su contrario, como dice la fórmula p∧¬p). Pero, ¿qué sucede con enunciados más complejos, como, por ejemplo, (¬p∧q)∧(p∧¬q)? Aquí es un poco más complejo decidir por simple inspección visual si estamos ante un enunciado contradictorio o no, pero haciendo su tabla de verdad, salimos de dudas inmeditamente.
| p | q | ¬p | ¬p∧q | ¬q | p∧¬q | (¬p∧q)∧(p∧¬q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | F | F | F |
| V | F | F | F | V | V | F |
| F | V | V | V | F | F | F |
| F | F | V | F | V | F | F |
Haciendo la tabla de verdad de (¬p∧q)∧(p∧¬q) queda claro que no hay ninguna posible interpretación de este enunciado que haga verdadero el enunciado bajo estudio. En consecuencia estamos ante una contradicción.
Contradicciones y reducción al absurdo
Para averiguar si estamos ante un enuncaido contradictorio también se puede emplear el método de reducción al absurdo, lo que veremos en el apartado suguiente.