El bicondicional (o coimplicación)
Ya hemos comprobado que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargo, que tanto p→q como q→p sean verdaderos. Por ejemplo, si p:"La Tierra es cúbica", y q:"El Sol es un planeta", entonces tanto p→q como q→p son verdaderos, porque tanto p como q son falsos. Es necesario tener esto en cuenta para entender bien el concepto de coimplicador.
Mediante el coimplicador ↔ lo que queremos decir es que un enunciado es a la vez condición necesaria y suficiente para otro. Así, si digo que p: "apruebo Filosofía" y q: "saco un 5 o más en el examen de Lógica" la fórmula p↔q significa "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica". Con este "si y sólo si" quiero poner de manifiesto tres cosas:
- Al introducir el primer condicional "si" (en "si y sólo si"), introduzco el antecedente, y por tanto afirmo que p→q, (es decir aprobaré Filosofía si saco 5 o más en el examen de Lógica),
- Al introducir "sólo si" (en "si y sólo si"), introduzco el consecuente, buscando comunicar que q→p, (es decir, que si saco un 5 o más en el examen de Lógica, entonces apruebo la Filosofía), y
- Al utilizar la partícula "y" (en "si y sólo si"), quiero comunicar la conjunción de p→q con q→p.
Así pues, el enunciado "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica" se puede formalizar de dos formas equivalentes: (p→q)∧(q→p), o bien p↔q.
En consecuencia, el enunciado p↔q queda definido por el enunciado (p→q)∧(q→p). Por esta razón, el símbolo ↔ se llama bicondicional, y la tabla de verdad para p↔q es la misma que la de (p→q)∧(q→p).
El bicondicional
El bicondicional o coimplicador p↔q, que se lee "p si y sólo si q" o "p es equivalente a q", se define por la siguiente tabla de verdad:
| p | q | p↔q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
La doble flecha horizontal ↔ es el operador bicondicional
Fíjate que de la observación de la tabla de verdad deducimos que para que p↔q sea verdadera, tanto p como q han de tener los mismos valores de verdad, y en caso contrario es falsa.
La formalización del bicondicional
El coimplicador puede tener varias expresiones equivalentes en lenguaje natural. Así p↔q es la formalización de las siguientes expresiones de lenguaje natural:
- p si y sólo si q
- p es necesario y suficiente para q
- p es equivalente a q
Fíjate que p↔q y q↔p tendrían totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsas en los demás casos. En consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q:
- q si y sólo si p
- q es necesario y suficiente para p
- q es equivalente a p