Ya hemos visto que tanto la conjunción como la disyunción tienen la propiedad conmutativa, es decir el orden de los enunciados de las conjunciones o de las disyunciones no altera su valor de verdad: es lo mismo p∧q que q∧p, y también es lo mismo p∨q que q∨p.
El recíproco del implicador
Pero, ¿ocurre lo mismo con el implicador? ¿Es lo mismo p→q que q→p? La respuesta es que no. Veámoslo con cierto detenimiento.
Se dice que q→p es el recíproco de p→q. El implicador, como hemos avanzado, no tiene la propiedad conmutativa, como se aprecia en la comparación de las tablas de verdad de p→q y de su recíproco q→p:
Valores diferentes en las columnas "p→q" y "q→p"
| p | q | p→q |
q→p
|
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | V | F |
| F | F | V | V |
El recíproco
El enunciado q→p es el recíproco de p→q. Un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes lógicamente.
Veámoslo con un ejemplo:
Sea p el enunciado "Llueve", y q: "El suelo está mojado", siendo, por consiguiente p→q "Si llueve, entonces el suelo está mojado". Veamos el recíproco de este enunciado: q→p: "Si el suelo está mojado, entonces llueve". Vemos que los dos enunciados no son lógicamente equivalentes, pues si p es verdadero, y q falso:
- p→q ("Si llueve, entonces el suelo está mojado") es necesariamente falso
- q→p ("Si el suelo está mojado, entonces llueve") es verdadero, pues una falsedad implica cualquier cosa manteniendo la verdad del condicional.
El contrarrecíproco del implicador
Aunque un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes, sí lo son un enunciado condicional y su contrarrecíproco. El contrarrecíproco del enunciado p→q es ¬q→¬p (es decir, la negación de cada uno de los enunciados del recíproco). Veámoslo comparando tablas de verdad:
Mismos valores en las columnas "p→q" y "¬q→¬p"
| p | q | p→q | ¬q | ¬p | ¬q→¬p |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V |
El contrarrecíproco
El enunciado ¬q→¬p es el contrarrecíproco de p→q. El enunciado ¬q→¬p es equivalente al condicional p→q. Un enunciado condicional y su contrarrecíproco son equivalentes lógicamente
Comparemos el mismo ejemplo:
En el ejemplo anterior donde p: "Llueve", q: "El suelo está mojado", p→q "Si llueve, entonces el suelo está mojado". El contrarrecíproco es ¬q→¬p, que significa que "Si el suelo no está mojado, entonces no llueve", que es lógicamente equivalente al enunciado primitivo p→q.
Ya es momento para practicar tu aprendizaje del recíproco y contrarrecíproco de los enunciados condicionales en las siguientes secciones.