Ya hemos comprobado que únicamente a partir de las reglas básicas se puede hacer cualquier deducción. Pero sucede que podemos introducir, con fines prácticos, nuevas reglas deducidas o derivadas de las básicas, que nos van a permitir abreviar el número de líneas de las derivaciones. Hay que recordar, sin embargo, que todo lo que se puede hacer con las reglas derivadas también se puede conseguir con las básicas, aunque con más pasos, por lo que se dice que las reglas derivadas no aumentan la potencia deductiva de las reglas básicas.
Las reglas derivadas, por lo tanto tienen estas tres características:
- Son deducciones efectuadas a partir de reglas básicas.
- No aumentan la potencia deductiva de las reglas básicas.
- Frecuentemente abrevian las derivaciones.
Cuando presentamos la reducción al absurdo ya comprobamos la primera de estas características: a partir de las reglas básicas derivamos (deducimos, o fundamentamos) una regla derivada: el Modus Tollens.
- Modus Tollens en su forma de ley (o condicional correspondiente):
- ((p→q)∧¬q)→¬p
- Modus Tollens en forma de argumento:
-
- p→q
- ¬q
- ⊢¬p
- Fundamentación del Modus Tollens a partir de las reglas básicas:
-
1. A→B 2. ¬B ⊢¬A 3. A 4. B MP 1,3 5. B∧¬B Prod 4,2 6. ¬A Abs 3-5
De forma análoga, se pueden fundamentar todas las reglas derivadas que vamos a estudiar.
Divideremos nuestro estudio de las reglas derivadas en cuatro secciones correspondientes a las reglas derivadas, respectivamente, de la implicación, de la negación, de la conjunción y de la disyunción. No ofreceremos la fundamentación de cada una de ellas, lo que queda propuesto como interesante ejercicio para el lector.
Comencemos con las reglas derivadas de la implicación.