La propiedad conmutativa de la conjunción
La propiedad conmutativa de la conjunción nos dice, sencillamente, algo que todos ya sabemos intuitivamente, a saber, que es lo mismo p∧q que q∧p. Se trata de dos expresiones equivalentes (ya nos extenderemos en otro apartado sobre el concepto de equivalencia lógica). Baste aquí decir que dos enunciados son equivalentes si sus tablas de verdad son iguales, que es lo que sucede con p∧q y con q∧p.
Mismos valores en las columnas "p∧q" y "q∧p"
| p | q | p∧q |
q∧p
|
|---|---|---|---|
| V | V | V |
V
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| V | F | F |
F
|
| F | V | F |
F
|
| F | F | F |
F
|
Si nos gustan las cosas sencillas, digamos simplemente que todos sabemos que, en nuestra vida cotidiana, es lo mismo decir "canto y bailo", que "bailo y canto".
También podemos hacer una comparación entre la Lógica y la Matemática: la suma, lo mismo que la conjunción, también tiene la propiedad conmutativa: 1+2=3, y 2+1=3 (el orden de los sumandos no altera la suma). Y sucede lo mismo con la multiplicación: 3x5=15, y 5x3=15 (el orden de los factores...).
La propiedad asociativa de la conjunción
Formalicemos el siguiente pasaje de Schopenhauer [Parerga y Paralipómena, cap.IV, III]: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y maldad en los negocios graves y, al mismo tiempo, en los pequeños un asilo de la insolencia". Siendo:
- p: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe"
- q: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves"
- r: "El principio del honor caballeresco es a veces un asilo de la insolencia"
Solución:
Este enunciado de Schopenhauer contiene tres enunciados que se pueden combinar de dos maneras diferentes:
- En primer lugar, se puede combinar p y q para formar p∧q, dando lugar a: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y la maldad en los negocios graves". Y a continuación podemos unir mediante una conjunción este enunciado con r, dando lugar a (p∧q)∧r, que se leería como el enunciado original del bueno de Schopenhauer.
- En segundo lugar, se puede combinar igualmente q con r, para obtener q∧r: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves y, al mismo tiempo, en los pequeños un asilo de la insolencia". Y a continuación unimos la combinación precedente con p para obtener p∧(q∧r), que también se leería como el enunciado original del pesimista Schopenhauer.
Pronto veremos que tanto (p∧q)∧r como p∧(q∧r) son lógicamente equivalentes, y a este hecho se le denomina ley asociativa de la conjunción. Por lo tanto, las dos posibilidades analizadas, (p∧q)∧r por un lado, y p∧(q∧r) por el otro, son igualmente válidas.
Ocurre con la conjunción lo mismo que nos pasa en las matemáticas con la suma: (1+2)+3 es lo mismo que 1+(2+3). En lógica, como en las matemáticas, también podemos eliminar los paréntesis, y podemos dar por buena una tercera solución lógicamente equivalente: p∧q∧r