Veamos un ejemplo un poco más complejo. Calculemos la tabla de verdad del siguiente enunciado: (p∨q)∧p. Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la conjunción, ya que se comenzaría con el enunciado de dentro del paréntesis (una disyunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de las conectivas:
| (p∨q)∧p | ||||
|---|---|---|---|---|
| (p | ∨ | q) | ∧ | p |
| 1 | 2 | |||
Sigamos los pasos propuestos:
Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tegamos:
| p | q |
|---|---|
A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p y q:
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Seguimos añadiendo tantas columnas como subenunciados tenga el enunciado objeto de estudio (en este caso, dos: uno para (p∨q) y otro para (p∨q)∧p.
| p | q | ||
|---|---|---|---|
| V | V | ||
| V | F | ||
| F | V | ||
| F | F |
Seguimos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas señalado al principio de esta página:
| p | q | (p∨q) | (p∨q)∧p |
|---|---|---|---|
| V | V | ||
| V | F | ||
| F | V | ||
| F | F |
El orden de las conectivas, en este caso es el siguiente, como hemos visto al principio de esta página:
| (p∨q)∧p | ||||
|---|---|---|---|---|
| (p | ∨ | q) | ∧ | p |
| 1 | 2 | |||
Por último, procedemos a averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que hemos construido, teniendo en cuenta las definiciones,ya conocidas, de los conectores involucrados.
| p | q | (p∨q) | (p∨q)∧p |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | V | F |
| F | F | F | F |
La tercera columna es exactamente igual a la tabla de verdad de la definición del disyuntor.
La última columna, que es la que determina el valor de verdad de (p∨q)∧p por ser la dominante, la determinamos aplicando la definición del conjuntor a la columna tercera ya la primera.
Fíjate bien en la cuarta columna:
- La primera celdilla de la cuarta columna es V porque p∨q es V (columna 3, fila 1) y p es V (columna 1, fila 1), y de acuerdo con la definición de la conjunción (su tabla de verdad), si ambos términos son V, entonces la conjunción es V.
- La segunda celdilla de la cuarta columna es V por el mismo motivo.
- La tercera celdilla de la cuarta columna es F porque p ∨q es V (columna 3, fila 3) pero p es F (columna 1, fila 2), y según la definición de la conjunción, si un término es V y el otro F, entonces la conjunción es F.
- La cuarta celdilla de la cuarta columna es F porque p ∨q es F (columna 4, fila 4) y p también es F (columna 1, fila 4), y según la definición de la conjunción, si los dos términos de la conjunción son F, su conjunción es F.
Tautología, contradicción o contingencia
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Cuando todos los valores de la conectiva dominante de una tabla de verdad son Vs, estamos ante una tautología.
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Cuando todos esos valores son Fs, estamos ante una contradicción.
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Cuando hay Vs y Fs, estamos ante una contingencia.
Y ya es hora de pasar a la siguiente sección para practicar lo que hemos aprendido.