Introducción a las equivalencias tautológicas
En las páginas siguientes haremos un repaso de las principales equivalencias tautológicas, que son un tipo de tautologías que siguen un esquema de bicondicional: A↔B.
Recuerda que A↔B se define como (A→B)∧(B→A), por lo que un enunciado bicondicional es verdadero cuando sus dos enunciados componentes son o bien ambos verdaderos o bien ambos falsos.
Las equivalencias tautológicas o equivalencias lógicas
Las equivalencias tautológicas tienen la forma A↔B donde A y B son enunciados (atómicos o moleculares) que son lógicamente equivalentes. En otras palabras, si A↔B es tautológica, entonces A≡B.
Por lo tanto, todas las equivalencias lógicas que hemos estudiado en el apartado correspondiente son ejemplos de equivalencias tautológicas.Las equivalencias tautológicas que ya conocemos son las siguientes (expondremos unos cuantos ejemplos a continuación y una lista mayor en la página siguiente):
- Doble negación
- p↔¬(¬p)
- Propiedad conmutativa de la conjunción
- p∧q↔q∧p
- Propiedad conmutativa de la disyunción
- p∨q↔q∨p
- Propiedad asociativa de la conjunción
- p∧(q∧r)↔(p∧q)∧r
- Propiedad asociativa de la disyunción
- p∨(q∨r)↔(p∨q)∨r
- Leyes de DeMorgan
- ¬(p∧q)↔(¬p)∨(¬q)
- ¬(p∨q)↔(¬p)∧(¬q)
- Definición del implicador
- p→q↔¬p∨
- Contrarrecíproco del implicador
- p→q↔¬q→¬p
- Definición del coimplicador
- p↔q↔(p→q)∧(q→p)
En la lista anterior tenemos las equivalencias lógicas (y tautológicas) que ya hemos estudiado expresadas en forma de ley lógica. Veamos la ley de la doble negación en el siguiente cuadro expresada en forma de regla de inferencia (es decir, en su forma argumental):
La Ley de la Doble Negación [p↔¬(¬p)] expresada en forma de regla de inferencia adopta las dos formas siguientes de representación:
- p
- ¬(¬p)
y también
- ¬(¬p)
- p
Existe la convención de representar simplificadamente las equivalencias tautológicas utilizando entre premisa y conclusión una raya doble, en lugar de una sencilla (como ocurría en el caso de las implicaciones tautológicas). Así se indica que se puede pasar tanto de lo que hay por encima de la raya hacia abajo como de la expresión de debajo de la raya hacia la de arriba.
- p
- ¬(¬p)
Veamos en la siguiente sección las equivalencias tautológicas más importantes en forma de ley, y en forma de regla de inferencia.