Introducción al cálculo deductivo: ejemplos de deducciones
En la página anterior hemos comprobado como es práctico utilizar la ley del Modus Ponens en forma de regla de inferencia (o forma argumental) para construir pruebas de argumentos.
Pues bien, en realidad, además del Modus Ponens, se puede utilizar cualquiera de las implicaciones tautológicas o de las equivalencias tautológicas que hemos estudiado para probar distintos argumentos.
Veamos un ejemplo de aplicacion de la Simplificación combinada con el Modus Ponens para construir una prueba:
Ejemplo con la Simplificación
Demuestra ⊢r a partir de las siguientes premisas: p∧q por un lado, y q→r
| 1. | p∧q | ||
| 2. | q→r | ⊢r | |
Solución
Veamos la solución: vemos que necesitamos deducir el enunciado r a partir de las dos premisas p∧q y q→r. Comprobamos que si tuviéramos el enunciado q como premisa, podríamos aplicar el Modus Ponens a la premisa 2. q→r y a q, con lo cual ya obtendríamos r. Por tanto, un paso intermedio consiste en intentar conseguir deducir el enunciado q para realizar tal operación. Y vemos que q está en el primer enunciado en una conjunción: p∧q. Si recordamos la regla de Simplificación, comprobamos que la podemos aplicar al enunciado 1 para deducir de él el enunciado deseado: q. Así:
| 1. | p∧q | ||
| 2. | q→r | ⊢r | |
| 3. | q | Simplificación 1 | |
Y a partir de lo anterior ya podemos obtener r simplemente aplicando el Modus Ponens a las líneas 2 y 3:
| 1. | p∧q | ||
| 2. | q→r | ⊢r | |
| 3. | q | Simplificación 1 | |
| 4. | r | Modus Ponens 2,3 | |
Con lo cual hemos demostrado la validez (o hemos construido una prueba) del argumento:
- p∧q
- q→r
- ⊢r
Podríamos demostrar la corrección de este argumento si al construir la tabla de verdad de la siguiente fórmula nos encontramos con una tautología (como es el caso):
[(p∧q)∧(q→r)]→r
Ejemplo con el Modus Tollens
Prueba el siguiente argumento (es decir, demuestra su validez):
- (p∨r)→q
- ¬q∧r
- ⊢¬(p∨r)
Solución
Comencemos:
| 1. | (p∨r)→q | ||
| 2. | ¬q∧r | ⊢¬(p∨r) | |
El enunciado buscado ¬(p∨r) es la negación del antecedente de la primera premisa, lo que nos lleva a pensar que si encontramos la negación del consecuente de la primera premisa (la negación de q) podríamos aplicar el Modus Tollens para deducir, de inmediato, ¬(p∨r).
Vemos que la negación del consecuente de la primera premisa está en la segunda premisa, y la podemos deducir utilizando la regla de Simplificación:
| 1. | (p∨r)→q | ||
| 2. | ¬q∧r | ⊢¬(p∨r) | |
| 3. | ¬q | Simplificación 2 | |
Y ahora ya estamos en condiciones de aplicar el Modus Tollens a los enunciados 1 y 3 para deducir ¬(p→r):
| 1. | (p∨r)→q | ||
| 2. | ¬q∧r | ⊢¬(p∨r) | |
| 3. | ¬q | Simplificación 2 | |
| 4. | ¬(p∨r) | Modus Tollens 1,3 | |
Fíjate en esto...
Fíjate que en todos los ejemplos hemos puesto en la parte de la derecha de los enunciados que hemos ido deduciendo, su justificación, con mención expresa de la regla de inferencia aplicada y de las líneas del argumento involucradas en cada paso.