Introducción al cálculo deductivo: las pruebas
Empecemos con un ejemplo de un argumento que sigue el esquema de la ley lógica del Modus Ponens: [(p→q)∧p]→q, cuyo argumento correspondiente es:
- p→q
- p
- q
Como habíamos comentado en la página anterior, las letras minúsculas se refieren a enunciados moleculares, pero en realidad no hay razón para restringir los esquemas válidos de inferencia (es decir, las reglas de inferencia) a los enunciados atómicos. Consideremos el siguiente argumento:
- Si llueve y no tengo paraguas, entonces me mojo y me resfrío
- Es el caso que llueve y no tengo paraguas
- Por lo tanto, me mojo y me resfrío
Si formalizamos el argumento anterior, nos quedaría algo así:
- p: llueve
- q: tengo paraguas
- r: me mojo
- s: me resfrío
- (p∧¬q)→(r∧s)
- p∧¬q
- r∧s
Si aplicamos lo expuesto en la sección anterior, es fácil comprobar que este argumento responde a la formulación más general del Modus Ponens:
- A→B
- A
- B
donde:
- A≡(p∧¬q)
- B≡(r∧s)
Así expuesta, ya tenemos que el Modus Ponens es nuestra primera regla de inferencia.Usaremos las reglas de inferencia para construir >listas de enunciados verdaderos> que llamaremos pruebas.
Una prueba es una forma de mostrar cómo un enunciado llamado conclusión se sigue necesariamente de un conjunto de enunciados llamados premisas. O si se prefiere, las pruebas muestran cómo la verdad de un conjunto de enunciados llamados premisas es incompatible con la falsedad de otro enunciado llamado conclusión.
En particular, el Modus Ponens nos muestra que si en un argumento tenemos dos premisas con la estructura A→B y A , entonces está justificado añadir B como otro enunciado verdadero que forme parte de dicho argumento.>
Veámoslo con un ejemplo
Aplica el Modus Ponens a los enunciados 1 y 3 de la siguiente lista de premisas (esto es, de enunciados de los que partimos como verdaderos, y que, convencionalmente, vienen precedidos de una raya horizontal):
| 1. | (¬p∧q)→(¬r∧s) | ||
| 2. | (r∨¬s) | ||
| 3. | (¬p∧q) | ||
La solución es elemental si nos damos cuenta de que el siguiente argumento tiene la siguiente estructura:
| 1. | A→B | ||
| 2. | C | ||
| 3. | A | ||
- A≡(¬p∧q)
- B≡(¬r∧s)
- C≡(r∨¬s)
El enunciado A aparece dos veces: en los enunciados 1 y 3; y el enunciado B aparece sólo en el enunciado 1. El enunciado C sólo aparece en el segundo enunciado y no tiene pertinencia para la aplicación del Modus Ponens en este caso concreto, que es de la siguiente manera:
| 1. | (¬p∧q)→(¬r∧s) | Premisa | |
| 2. | (r∨¬s) | Premisa | |
| 3. | (¬p∧q) | Premisa | |
| 4. | (¬r∧s) | Modus Ponens 1,3 | |
Esta lista de cuatro enunciados constituye una prueba de que el enunciado 4 se sigue necesariamente de las premisas 1 a 3 (en virtud de la estructura tautológica de la ley del Modus Ponens: [(p→q)∧p]→q, aunque, por conveniencia práctica la hayamos expresado en forma de regla de inferencia).
Observa que en la parte de la derecha hemos escrito "Modus Ponens 1,3", que es la justificación del enunciado 4. Esto es una práctica común.
Fíjate en esto...
Lo que hemos hecho en este ejemplo ha sido construir una prueba del siguiente argumento:
- (¬p∧q)→(¬r∧s)
- r∨¬s
- ¬p∧q
- ¬r∧s
Es importante que este mismo fin de mostrar que la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión podría haberse hecho por medios semánticos realizando la tabla de verdad de la siguiente fórmula:
{[(¬p∧q)→(¬r∧s)] ∧ (r∨¬s) ∧ (¬p∧q)} → (¬r∧s)
Si la fórmula anterior es una tautología, entonces es cierto que la verdad de las premisas {[(¬p∧q)→(¬r∧s)] ∧ (r∨¬s) ∧ (¬p∧q)} es incompatible con la falsedad de la conclusión (¬r∧s).