b. El Teorema de Deducción

El Teorema de Deducción es la regla básica que permite introducir el implicador en dos enunciados de un argumento. El esquema de esta regla de inferencia sería el siguiente:

El anterior esquema viene a decir que si en una línea de una derivación introducimos un supuesto, A, del que derivamos la conclusión B en otra línea, entonces obtenemos A→B en una nueva línea.

Nos encontramos con que, además de las premisas de que partimos en los argumentos, al llevar a cabo una deducción podemos introducir supuestos que deben ser cancelados (o cerrados). en el esquema, la introducción de un supuesto se representa por la línea que parte de la A, y su cancelación se representa por la línea que acaba al lado de la B.

Veamos cómo funciona esta regla con un ejemplo.

Ejemplo de uso del Teorema de Deducción

Prueba el siguiente argumento:

Vemos que hay que conseguir el enunciado p→r que es una implicación. Pues bien, comenzaremos abriendo un supuesto: p; si a partir de este supuesto conseguiemos deducir r, entonces cancelaremos el supuesto y escribiremos p→r:

A continuación vemos que podemos aplicar el Modus Ponens a las líneas 1 y 3 para conseguir q:

Ahora ya está claro que aplicando el Modus Ponens a las líneas 1 y 3 conseguirmos deducir r, con lo que ya podemos cancelar el supuesto abierto en la línea 3:

Y aplicando el Teorema de Deducción al supuesto abierto en la línea 3 y cancelado en la línea 5 estamos autorizados para escribir p→r, que es la conclusión que pretendíamos.

Antes de que continuemos con casos más complejos del Teorema de Deducción en la siguiente página, es conveniente que practiques lo aprendido con las actividades relacionadas.