j. Reducción al absurdo

j. La Reducción al Absurdo

La regla de Reducción al Absurdo es la regla básica que permite introducir la negación. El esquema de esta regla de inferencia sería el siguiente:

El anterior esquema viene a decir que si en una línea de una derivación introducimos un supuesto, A, del que derivamos una contradicción B∧¬B en otra línea, entonces podemos negar el enunciado supuesto: A. Por lo tanto, la regla de la Reducción al Absurdo se basa en suponer lo contrario de lo que se quiere demostrar para pasar a negar dicho supuesto en caso de deducir una contradicción a partir de él.

Abreviaremos la regla de Reducción al Absurdo con las iniciales Abs.

Veamos cómo funciona esta regla con un ejemplo.

Ejemplo de uso de la Reducción al Absurdo

Prueba el siguiente argumento (el Modus Tollens, recuerda):

Vemos que hay que conseguir el enunciado ¬p que es la negación del antecedente de la implicación de la línea 1. Pues bien, comenzaremos abriendo un supuesto: p, que es lo contrario de lo que pretendemos demostrar; si a partir de este supuesto conseguimos deducir una contradicción r∧¬r, entonces cancelaremos el supuesto y escribiremos ¬p:

A continuación vemos que podemos aplicar el Modus Ponens a las líneas 1 y 3 para conseguir q:

Ahora ya está claro que aplicando el Producto a las líneas 4 y 2 conseguirmos deducir la contradicción q∧¬q, con lo que ya podemos cancelar el supuesto abierto en la línea 3:

Finalmente, la contradicción q∧¬q a que nos ha conducirdo suponer p nos autoriza, gracias a la Reducción al Absurdo desarrollada entre las líneas 3 y 5, a afirmar su contrario ¬p

Es el momento de practicar lo aprendido sobre la Reducción al Absurdo en la siguiente sección.