El cálculo se define como un sistema de signos no interpretados que consta de los siguientes elementos: unos signos de cálculo (las conectivas) y unas fbf obtenidas por reglas de inferencia. Dentro de estas fbf destacan los teoremas, que son las últimas fbf a que se llega aplicando reglas de inferencia.
(v. completud, conectiva, consistencia, teorema, .regla de inferencia, sistema decidible,)
La completud es la condición de un sistema formal de que (a) el lenguaje formal tiene la capacidad para expresar como fbfs todas las proposiciones que se supone deben ser significativas, y (b) el aparato deductivo tiene la capacidad para probar como teoremas todas las proposiciones que deben ser verdaderas. Esta segunda condición se puede expresar más brevemente como que todas las fbfs del sistema son teoremas del sistema.
A la condición (a) también se le llama completud expresiva, y a la (b) completud deductiva.
(v. sistema formal, teorema)
La conclusión es una proposición que es el resultado de un argumento o inferencia. Es la fbf derivada o inferida de las premisas.
(v. argumento, derivación, inferencia)
Cada argumento o derivación, A1, A2,…An⊢B se puede reexpresar como un enunciado condicional con la forma (A1 A2 … An)→B denominada condicional correspondiente del argumento.
Una conectiva es un símbolo que sirve para unir proposiciones y formar proposiciones moleculares. En la lógica proposicional las conectivas pueden ser monádicas si afectan a una sola proposición (la negación, representada por el símbolo “¬”) o diádicas, si afectan a dos proposiciones, como el conjuntor “∧”, el disyuntor “∨”, el implicador “→” y el coimplicador “↔”.
(v. bicondicional, conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, implicación, negación)
La conjunción es una función veritativa que es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderos, y falsa en los demás casos.
También se usa la voz “conjuntor” para referirse a la conectiva que denota esta función y a la proposición compuesta en la que actúa como conectiva dominante. La conjunción de p y q se representa p∧q, y a veces: p&q, o bien p•q.
La conjunción se define por la siguiente tabla de verdad:
| p | q | p∧q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
(v. conectiva, función veritativa)
Referencias en el texto:
Una fbf B es consecuencia semántica de otra fbf A syss no hay una interpretación, I, en la que A es verdadera para I y B es falsa para I, o más brevemente, syss todos los modelos de A son modelos de B.
(v. interpretación, modelo)
A es consecuencia sintáctica de un conjunto Γ de fbfs syss A puede ser derivada de Γ (y de los axiomas). Notación: Γ ⊢A.
(v. derivación)
La consistencia es una propiedad que debe tener todo cálculo en un sistema formal. El requisito de consistencia exige que en un sistema formal no haya ninguna fbf A tal que A y ¬A sean ambas teoremas.
En otras palabras, la consistencia exige que esté vigente en el sistema el principio de no contradicción: ¬(A∧¬A)
(v. sistema formal, teorema)
Una fbf es contingente cuando no es ni contradictoria ni tautológica, y por tanto será verdadera para algunas interpretaciones y falsa para otras. La tabla de verdad de una fbf contingente tendrá tanto Vs como Fs (unos y ceros) en la columna correspondiente a su conectiva principal. Una contingencia depende de un estado de cosas particular para ser verdadera.
(v. contradicción, tautología)
(1) Una contradicción es la conjunción de cualquier proposición con su negación.
(2) También es la negación de una tautología; es decir, una contradicción es una fbf que es falsa para cualquiera de sus posibles interpretaciones (i.e. su tabla de verdad sólo tiene Fs o ceros en la columna correspondiente a la conectiva principal). Los enunciados contradictorios se dice que son insatisfacibles.
(v. contingencia, insatisfacibilidad, tautología)
Referencias en el texto:
El contrarrecíproco de un enunciado condicional es su recíproco con cada uno de sus dos componentes negado. Así, el contrarrecíproco de p→q es ¬q→¬p (es decir, la negación de cada uno de los enunciados del recíproco). Una implicación y su contrarrecíproco son equivalentes lógicamente
(v. equivalencia)
Referencias en el texto: